iPad Air 3をiPadOS 16にアップデート中に「リカバリモード」画面になり、「復元」または「アップデート」の選択肢を迫られる状況に。復元（工場出荷時）とアップデートを試みるもエラーコード「4013」が表示され何もできない八方塞がりな状態になりました。
引用元 https://support.apple.com/ja-jp/HT212787
アップデートもしくは復元時に表示されるエラーコード「4013」の解決法
私の場合iOSやiPadOSのアップデートは、iPhoneやiPadを毎回MacにUSBケーブルで接続してFinder（前はiTunesアプリ）からアップデートしています。
今回の解決方法は個人の環境依存が大きいと考えますが、色々と試行錯誤した結果、iPad Air 3とMacを接続するUSBケーブルの交換で、4013のエラーを回避してiPadOS 16にアップデートすることができました。
Apple純正のUSBケーブルでも相性があるとは...。
今回iPad Air 3とケーブルで接続していたMacは、2020年発売のM1 MacBook Air 13インチでmacOSはVentura（13.0）です。
iPad Air 3（第3世代/2019年3月発売）はLightning端子とUSB2.0の端子があるUSBケーブルが標準で付属していたので、USB-C直だと仕様上何かしら問題があるのかもしれません。
上記のApple純正の変換アダプターですが、2022年10月31日現在以下のウェブサイトで販売しています。製品名は「USB-C - USBアダプタ」、モデル名は「MJ1M2AM/A」、値段は「2,780円（税込）」です。※ 楽天では5000円ほどで売られているのでリンクは掲載していません。
ちなみに上記の写真に写っているUSBケーブルは、シェーバーなどで有名な「フィリップス」のUSB to Lightning 1.5m ブラック（デニム素材）です。
次の項目ですが、参考までに試行錯誤しましたが解決しなかった方法です。
もしかすると環境によっては解決するかも知れません。
エラーコード4013を解決するために試した方法
以下の方法を順番に試してみました。
iPadやMacの強制再起動
トラブルがあれば、まずは再起動ですね。
iPad Air 3はホームボタン搭載モデルなので、サイドボタン (またはトップボタン) とホームボタンを同時に押し、Appleロゴが表示されるまでそのまま押し続けると強制再起動になります。
やはりというか解決にはなりませんでした。
macOSを最新バージョンにアップデート
端末の再起動とともにmacOSの最新バージョンへのアップデートも定番ですね。
もちろんmacOS Monterey（読み方はモントレー）では、最新バージョン（12.6.1）にしていました。
ソフトウェアアップデートのipswファイルを入れ替え
iPad Air 3をMacに接続してる場合、復元をする際にはiOSもしくはiPadOSのソフトウェアを抽出してアップデートをするので、ソフトウェアアップデートのファイルをゴミ箱に入っていたiPadOS 15の古いファイルと差し替え。
Macにダウンロードされているファイルが壊れているか、まだiPad Air 3はiPadOS 15ではないかと想定しましたが当然無理でした ;)
ちなみにipswは、/Users/ユーザ名/Library/iTunes/iPad Software Updates/ にあります。
iTunesがインストールされている古いMacでのアップデートと復元
macOS High Sierraが動いているMacBook Proがあるので、iTunes経由でアップデートや復元を試してみましたが解決にはなりませんでした。
Lightning・USB2.0のUSBケーブルでMacと接続しているので解決しそうですが、macOSが古いためか無理でした。
macOSを最新版（Ventura）へアップグレード
ここまで来るとmacOSを最新バージョンにするぐらいしか思いつかなかったので、macOS Monterey（12.6.1）からmacOS Ventura（読み方はベンチュラ/13.0）へアップグレード。
macOS VenturaにアップグレードしてもApple純正のLightning・USB-CのUSBケーブルでは4013エラーが出るので、一縷の望みを託してUSBケーブルを交換したところ4013のエラーは解決できました。
※ macOS Montereyの時点でUSBケーブルの変更を検証していないので、macOSを最新版のVenturaにしたことが4013のエラーを解決した要因かは断定できません。
最後に（エラー番号やメッセージごとの対処法など）
今回のようなiOSやiPadOSのアップデート時や復元時のエラーについては、「4013」以外のエラーメッセージごとの対処法や確認する手順などApple公式のサポートページで解決法が掲載されています。
iOS のアップデート時や復元時のエラー - Apple サポート
googleで「4013 エラー」などで検索すると、基盤交換などハード面のトラブルが多そうで落胆してブルーになりながら試行錯誤していましたが意外な盲点でびっくりしました。
私の場合、iPad Air 3とMac双方でiPadOS 16をダウンロードしてダウンロードが早かったMac側でアップデートをかけたのでハード面というよりはソフトウェア的なバグだったのかも知れません。
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査定時間は15分ほどで購入時の箱や付属品は全て無しでしたが、査定には影響はありませんでした。
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同じように4013エラーでどうしようもなくなったところ、本記事のようにケーブルを変更して復旧できました。
オウルテックのUSB-A ライトニングケーブルでうまくいきました。
本当にありがとうございました。
ご報告ありがとうございました。オウルテックのケーブルでも大丈夫だったんですね。情報ありがとうございました！
はじめまして。息子（８）のiPadがエラー4013となり、途方に暮れていたところ記事を見つけました。早速ケーブルを変更し、びっくり！本当に復元できました！どうもありがとうございました!!!
ご報告ありがとうございました。解決して良かったです！